séparément à zéro les valeurs différentielles des trois formules dont il s’agit.
Ainsi, en dénotant par
la valeur différentielle de
provenant de l’incrément
on aurait ces trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} \,+d\mathrm {P} )\omega +&\left(\mathrm {P} +2d\mathrm {P} \,+d^{2}\mathrm {P} \right)\pi =0,\\\mathrm {Q} .\nu +(\mathrm {Q} +d\mathrm {Q} )\omega +&\left(\mathrm {Q} +2d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {Q} \right)\pi =0,\\\mathrm {R} .\nu +(\mathrm {R} +d\mathrm {R} )\omega +&\left(\mathrm {R} +2d\mathrm {R} \,+d^{2}\mathrm {R} \right)\pi =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05b6b13caac83f55c552f6131abc96fbc6bb8bd)
savoir,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {P} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {P} \,.\pi =0,\\\mathrm {Q} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {Q} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {Q} .\pi =0,\\\mathrm {R} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {R} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {R} \,.\pi =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f114885dff90ee3a5c76328861bdcc47036260)
Éliminant deux des quantités
la troisième s’évanouit d’elle-même, et l’on obtient une équation différentielle du second ordre entre les trois variables
dont par conséquent l’intégrale complète renfermera trois constantes arbitraires. Mais, sans chercher cette équation différentielle, il est facile de s’assurer que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P} +a\mathrm {Q} +b\mathrm {R} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1375f3e0d1f4d0b35856afac55fa1095ff1a7b)
satisfait aux trois équations ci-dessus, quelles que soient les valeurs des coefficients
pourvu qu’ils soient constants ; car, en multipliant la seconde équation par
la troisième par
et les ajoutant à la première, on aura une équation identique, en vertu de l’équation supposée et, comme cette équation contient deux constantes arbitraires
et
il s’ensuit qu’elle sera nécessairement l’intégrale complète de l’équation du second ordre dont il s’agit ; et l’on voit en même temps qu’elle n’est autre chose que celle qui donne le maximum ou minimum absolu de la formule
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} dx+a\int \mathrm {Y} dx+b\int \mathrm {X} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8a1433c61b403ff59bf746ed3fa05784c05dea)
Au reste, je dois observer que, dans les premières solutions qui ont été données du problème des isopérimètres par les Bernoulli, Taylor et Euler lui-même, la valeur différentielle de la formule
qui doit