savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overset {1}{u}}\,'\ =\mathrm {N'\omega +(N+P')\omega '+(P+Q')} \omega ''+\ldots ,\\&{\overset {1}{u}}\,''=\mathrm {N''\omega +(2N'+P'')\omega '+(N+2P'+Q'')} \omega ''+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f8127d2dd15b4e9e440ab21f32b6eaac8f42fe)
Ces valeurs étant substituées dans l’expression de
l’équation
devra avoir lieu indépendamment des quantités
qui doivent demeurer indéterminées ; donc, égalant à zéro les multiplicateurs de chacune de ces quantités, on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f'(y\ \ )+\mathrm {N} f'(u)+\mathrm {N} 'f'(u')+\mathrm {N} ''f'(u'')+\ldots =0,\\&f'(y'\ )+\mathrm {P} f'(u)+(\mathrm {N+P'} )f'(u')+(2\mathrm {N+P''} )f'(u'')+\ldots =0,\\&f'(y'')+\mathrm {Q} f'(u)+(\mathrm {P+Q'} )f'(u')+(2\mathrm {N+2P'+Q''} )f'(u'')+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de45d6cf8c30647578adb84b9a28016d1b2e2e26)
d’où il faudra éliminer les quantités inconnues
il restera nécessairement une ou plusieurs équations qui seront les équations de condition cherchées. Car il est facile de voir que le nombre de ces quantités ne doit jamais surpasser celui des quantités
diminué du nombre des quantités
puisque dans l’équation proposée la plus haute fonction dérivée de
ne peut contenir de fonctions dérivées de
plus hautes que celles qui se trouvent dans la même équation.
Supposons, par exemple, que l’équation soit de la forme
![{\displaystyle f(u,u',x,y,y',y'')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ae4ac85b45c750ef025b750bb7f1269359e81b)
on fera ici simplement
![{\displaystyle {\overset {1}{u}}=\mathrm {N\omega +P} \omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7a5c844ee143dd8ae13c4cb0dcb16550ccc242)
et l’on aura les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f'(y\ \ )+\mathrm {N} f'(u)+\mathrm {N} 'f'(u')=0,\\&f'(y'\ )+\mathrm {P} f'(u)+(\mathrm {N+P'} )f'(u')=0,\\&f'(y'')+\mathrm {P} f'(u')=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77ef4f2e6920f9cb1c93e3f0a4752842255671b)
La dernière donnera
la seconde donnera
et la première don-