étant supposée, comme ci-dessus, une fonction indéterminée de
et qu’on développe suivant les puissances et les produits de
la fonction
deviendra, comme plus haut,
![{\displaystyle \mathrm {V+{\overset {1}{V}}+{\overset {2}{V}}+{\overset {3}{V}}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d390118ff7e1a650328695e8c3462d9e725401dd)
et l’on aura les équations particulières
![{\displaystyle \mathrm {V=0,\quad {\overset {1}{V}}=0,\quad {\overset {2}{V}}} =0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ee9cdab8ff200bba52248da4444479074d2926)
Car, si l’on imagine-qu’on mette dans
à la place de
sa valeur en
l’équation
deviendra identique ; donc l’identité subsistera aussi après la substitution de
pour
et le développement suivant
et, comme ces dernières quantités sont supposées indépendantes de
et
il est visible que chaque terme
qui contient les mêmes dimensions de
devra être identiquement nul dans l’équation développée
![{\displaystyle \mathrm {V+{\overset {1}{V}}+{\overset {2}{V}}+{\overset {3}{V}}} +\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360aa4cbecc624735e8bec8df8851bc9940728d6)
Représentons la fonction
par
![{\displaystyle f(u,u',u'',\ldots ,x,y,y',y'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67129ffcfba819dfb25c24aa6a3f0414ed767776)
et dénotons par
les différents termes du développement de la fonction
dans lesquels les quantités
forment ensemble une dimension, ou deux, etc. Nous aurons, suivant la notation adoptée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {1}{\mathrm {V} }}&={\overset {1}{u}}f'(u)+{\overset {1}{u}}\,'f'(u')+{\overset {1}{u}}\,''f'(u'')+\ldots \\&+\omega \,_{_{'}}\!f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dc63f908789f8fca5ac70fab6c1edb4202c5d5)
Or il est visible que la fonction
ne peut être que de la forme
![{\displaystyle {\overset {1}{u}}=\mathrm {N\omega +P\omega '+Q} \omega ''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce460b26f8fae3a32d2fb4af19fabc16ed0cfaad)
étant des fonctions de
De là, en prenant les fonctions dérivées relatives à
on aura les valeurs de