Cette quantité est la même chose que
donc, en mettant pour
sa valeur
elle devient
et il est visible qu’elle ne peut être une dérivée exacte, indépendamment de la valeur de
qui doit demeurer arbitraire ; donc il faudra que cette quantité s’évanouisse d’elle-même, et par conséquent qu’on ait l’équation identique
Mais,
étant
on a en général
Donc, substituant cette valeur de
on aura nécessairement l’équation identique
![{\displaystyle \mathrm {X} x'+\mathrm {Y} y'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3493e2497e64ca9a96693f6b1091dfa4b54a906f)
Il suit de là que l’équation de condition
qu’on aurait par la considération de la variable
et de ses dérivées, sera identique avec l’équation de condition
qui se rapporte à la variable
car, faisant
dans l’équation précédente, on a nécessairement
On prouvera de la même manière que, pour une fonction composée des trois variables
et de leurs dérivées, on aurait l’équation identique
![{\displaystyle \mathrm {X} x'+\mathrm {Y} y'+\mathrm {Z} z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165d0e5e1ace6f9544aa30341e351c4df5e30433)
en supposant
![{\displaystyle \mathrm {Z} =f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137fff2efe0e1097b6eda69c8fb8952baabd5ec5)
De sorte que, dans ce cas, l’équation de condition
serait comprise dans les deux équations
et
Ainsi on pourra toujours, dans la question présente, se dispenser d’avoir égard aux dérivées de la variable principale et à l’équation de condition qui en résulterait.
Si l’on voulait que la fonction
fût une dérivée exacte du second ordre, il faudrait de plus que la fonction primitive de
c’est-à-dire la fonction
fût elle-même une dérivée exacte. Or on a
![{\displaystyle {\overset {1}{\mathrm {U} }}=p\omega +q\omega '+r\omega ''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19ddc3cd75a08d3f35c995e412b3cbea9d3904f)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle p=\mathrm {P-Q'+R''} -\ldots ,\quad q=\mathrm {Q-R'} +\ldots ,\quad r=\mathrm {R} -\ldots ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49ddb7c9e2123d504d89dc7e8783539cc0bfe15)