est la fonction primitive ; on aura pour la fonction primitive de donc la fonction primitive de sera donnée.
De ce que nous venons de démontrer, il suit :
1o Qu’une fonction quelconque de la forme ne peut avoir une fonction primitive, indépendamment d’aucune relation entre et à moins que l’équation de condition
trouvée ci-dessus, n’ait lieu d’elle-même ;
2o Que, toutes les fois que cette équation aura lieu, la fonction
aura nécessairement une fonction primitive, quelle que soit la valeur de
Faisons maintenant la fonction se réduira à et aura par conséquent toujours une fonction primitive, puisqu’elle ne contiendra plus qu’une variable. Donc aussi la fonction aura nécessairement une fonction primitive.
Or, ayant supposé que
sont les premiers termes du développement de la fonction proposée lorsqu’on y augmente de de de c’est-à-dire de la fonction il est visible qu’on aura, en conservant la notation adoptée,
de sorte que l’équation de condition deviendra
Cette formule est la même, à la notation près, que celle qu’Euler avait trouvée d’abord par une méthode indirecte, tirée de la considé-