Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/371

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

{\begin{aligned}&{\overset {1}{\mathrm {U} }}=\omega \operatorname {F} '(y)+\omega '\operatorname {F} '(y')+\omega ''\operatorname {F} '(y'')+\ldots ,\\&{\overset {2}{\mathrm {U} }}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\operatorname {F} ''(y)+\omega \omega '{\operatorname {F} '^{,}}'(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega '^{2}\operatorname {F} ''(y')+\ldots ,\\&{\overset {3}{\mathrm {U} }}={\frac {1}{2.3}}\omega ^{3}\operatorname {F} '''(y)+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\omega '{\operatorname {F} ''^{,}}'(y,y')+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}

Or, ayant trouvé ci-dessus la valeur de ${\overset {1}{\mathrm {U} }},$ la comparaison des termes multibliés par $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ donnera

{\begin{aligned}&\operatorname {F} '(y)=\mathrm {P-Q'+R''} -\ldots ,\\&\operatorname {F} '(y')=\mathrm {Q-R'} +\ldots ,\\&\operatorname {F} '(y'')=\mathrm {R} -\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}

Ayant ainsi les fonctions dérivées du premier ordre par rapport à chacune des quantités $y,y',y'',\ldots ,$ on en déduira, par les règles données, les fonctions dérivées du second ordre et des suivants, par rapport à chacune des mêmes quantités ; on aura par conséquent les valeurs des termes suivants ${\overset {2}{\mathrm {U} }},{\overset {3}{\mathrm {U} }},\ldots$ du développement de $\mathrm {U} .$ Or on suppose