Pour trouver ces formules de la manière la plus simple, je commence par considérer une fonction
de différentes variables
et de leurs dérivées, dans laquelle une de ces variables et ses dérivées
ne se trouvent partout qu’à la première dimension il est clair que la fonction
sera de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {N} z+\mathrm {P} z'+\mathrm {Q} z''+\mathrm {R} z'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35fe232731e203d7b3022a17c292f7ed02b1dec)
étant des fonctions de
et de leurs dérivées sans ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Rien n’est plus facile que de trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre la variable
et les autres.
En etfet, si l’on considère les fonctions dérivées du produit de deux quantités quelconques, et qu’on dénote, comme nous l’avons proposé à la fin de la Leçon II, par des traits appliqués aux parenthèses, les fonctions dérivées des quantités renfermées dans ces parenthèses, on a
![{\displaystyle (\mathrm {P} z)'=\mathrm {P} z'+\mathrm {P} 'z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96faff634b10e65012bfeba2ae2daf00f12f4a16)
donc
![{\displaystyle \mathrm {P} z'=(\mathrm {P} z)'-\mathrm {P} 'z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abac98d679ea57625660134d9563ffed1e06fe8)
On a de la même manière
![{\displaystyle \mathrm {Q} z''=(\mathrm {Q} 'z')'-\mathrm {Q} 'z',\quad \mathrm {Q} 'z'=(\mathrm {Q} 'z)'-\mathrm {Q} ''z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f4cdf33e6f1c7d638692cfe260ccc2fea76cda)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} z''=(\mathrm {Q} z')'-(\mathrm {Q} 'z)'+\mathrm {Q} ''z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7158a13d60e9081b14da975ef8b12d4066785bd)
On trouvera pareillement
![{\displaystyle \mathrm {R} z'''=(\mathrm {R} z'')'-(\mathrm {R} 'z')'+(\mathrm {R} ''z)'-\mathrm {R} '''z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33083ea2f0312640d61c18abf6cb71e7e5f048f2)
et ainsi de suite.
Faisant ces substitutions dans l’expression de
elle devient, en ordonnant les termes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} =&(\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots )z\\&+(\mathrm {P} z)'-(\mathrm {Q} 'z)'+(\mathrm {R} ''z')'-\ldots \\&+(\mathrm {Q} z')'-(\mathrm {R} 'z')'+\ldots \\&+(\mathrm {R} z'')'-\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11803f022448d82ceaaf0e3e175dd09fedf165f0)