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Ou bien on tirera de l’équation trouvée la valeur de $p$ en $x,y,z\,;$ et, comme

$p=\left({\frac {z'}{x'}}\right),$

on cherchera l’équation primitive, en ne regardant que $z$ et $x$ comme variables. Cette équation pourra alors renfermer une fonction arbitraire de $y,$ qu’on déterminera aisément par l’équation proposée ; et, comme celle-ci est du premier ordre, la fonction de $y$ renfermera au moins une constante arbitraire, de sorte qu’on aura de nouveau une équation primitive complète avec les deux constantes.

Prenons dans l’exemple précédent la première équation $\mathrm {P} =a,$ savoir,

$y-p=a.$

Elle donne

$p=y-a\,;$

et, comme on a

$q={\frac {z}{p}},$

on aura

$q={\frac {z}{y-a}}.$

Ces deux valeurs, étant substituées dans l’équation

$z'-px'-qy'=0,$

donnent

$z'-(y-a)x'-{\frac {zy'}{y-a}}=0.$

équation qui, étant divisée par $y-a,$ a pour primitive

${\frac {z}{y-a}}-x+c=0,$

où $c$ est la nouvelle constante arbitraire.

Or cette équation est la même que nous avons trouvée ci-dessus par l’élimination de $p.$

La même équation

$p=y-a$