les fonctions primitives logarithmiques sont
![{\displaystyle lz=lp^{2}+lb,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f13cb8b059b7ac764c2f60fab7aa4cddc0d7ee)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z=bp^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58bdd3a0bad641f4a903d4afdd31b571e24342a)
étant une constante arbitraire.
Enfin, si dans la première on substitue
pour
et
pour
on a, en divisant par
![{\displaystyle bp'-x'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32ed5e66fa51a27fcb2ad81b96391455c691c17)
d’où l’on déduit, en prenant les fonctions primitives,
![{\displaystyle x=bp+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c736d1b2e60a3b2f0f079ce077c25b528de4d59)
étant la troisième constante arbitraire.
Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes,
![{\displaystyle a=y-p=\mathrm {P} ,\quad b={\frac {z}{p^{2}}}=\mathrm {Q} ,\quad c=x-{\frac {z}{p}}=\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6c14927d9f442ef67f2e478c8ad4468c0786d4)
Maintenant, si dans l’équation
![{\displaystyle z'-px'-qy'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75512d88ef3785210c127f0bfa3e4dbe4e20e09)
on substitue pour
la valeur
elle devient
![{\displaystyle z'-px'-{\frac {zy'}{p}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c177eb1e17845750e71e5bc4ebf4c20777478a)
Et si, à la place de
on y met les expressions trouvées ci-dessus en
en regardant les quantités
comme variables, on a la transformée
![{\displaystyle p^{2}b'+2bpp'-p^{2}b'-bpp'-pc'-bpp'-bpa'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16512c63b4b292dfe95ed5bd876978fb08ad9976)
qui, en effaçant ce qui se détruit et divisant ensuite par
se réduit à
![{\displaystyle c'+ba'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b267487406e212dcf0a4cc771b6da0ef689a610)
Donc, faisant
![{\displaystyle b=\psi (a),\quad c=\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f7c28a150a5b663052b2a4be318ee2f67ad4f6)
on aura
![{\displaystyle \varphi '(a)+\psi (a)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53683f569f15f8f0c3e95232b310e25ae3cef8a)