Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/355

Lorsqu’on aura déterminé, par ces équations, les fonctions $p$ et $q,$ l’équation

$z'=px'+qy'$

aura nécessairement une équation primitive, qui sera en même temps l’équation primitive de la proposée du premier ordre

$\operatorname {F} \left[x,y,z,\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right]=0.$

Comparons maintenant l’équation ci-dessus, qui contient les fonctions dérivées de $p$ relativement aux trois variables $x,y,z,$ avec la formule

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

que nous avons déjà traitée dans cette Leçon, et dont nous avons vu que l’équation primitive dépend des trois équations particulières

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0\,;$

nous aurons, en prenant respectivement les variables $x,y,z,p$ à la place des variables $t,x,y,z,$ les valeurs

$\mathrm {L} ={\frac {\operatorname {F} '(q)}{\operatorname {F} '(p)}},\quad \mathrm {M} ={\frac {p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)}{\operatorname {F} '(p)}},\quad \mathrm {N} =-{\frac {\operatorname {F} '(x)+p\operatorname {F} '(z)}{\operatorname {F} '(p)}},$

de sorte que les trois équations particulières deviendront

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}$

Comme ces trois équations ne renferment que quatre variables $x,y,z,p,$ on pourra les réduire à une seule entre deux variables ; ainsi la difficulté est rabaissée aux équations de ce genre.

Supposons donc qu’on ait trouvé leurs équations primitives qui renfermeront nécessairement trois constantes arbitraires $a,b,c\,;$ on pourra en tirer les valeurs de ces trois constantes en $x,y,z$ et $p\,;$ et, si l’on