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rithme d’une variable est égale à l’unité divisée par celle variable multipliée par le module du système logarithmique.

Puisque

$f(x)=\log x\quad {\text{donne}}\quad f'(x)={\frac {1}{cx}},$

en prenant successivement les fonctions dérivées, d’après la règle générale des puissances, on aura

$f''(x)=-{\frac {1}{cx^{2}}},\quad f'''(x)={\frac {2}{cx^{3}}},\quad \ldots \,;$

donc, si l’on fait ces substitutions dans le développement de $f(x+i),$ on aura la série

$\log x+{\frac {i}{cx}}-{\frac {i^{2}}{2cx^{2}}}+{\frac {i^{3}}{3cx^{3}}}-\ldots ,$

pour la valeur de $\log(x+i).$

Ayant ainsi le logarithme d’un nombre quelconque $x,$ on peut par cette série trouver celui d’un autre nombre plus grand $x+i,$ et la série sera d’autant plus convergente que la différence $i$ des deux nombres aura un moindre rapport au nombre $x.$

Par la théorie des logarithmes, on a

$\log(x+i)-\log x=\log \left({\frac {x+i}{x}}\right)=\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\,;$

donc, si l’on fait dans la formule précédente ${\frac {i}{x}}=y,$ on aura

$\log(1+y)={\frac {1}{c}}\left(y-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y^{3}}{3}}-\ldots \right),$

formule connue.

Soit $1+y=z\,;$ on aura

$y=z-1\,;$

donc

$\log z={\frac {1}{c}}\left[(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-\ldots \right].$

Cette série n’est convergente et par conséquent ne peut servir à