car il n’y a qu’à supposer
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {y}{x}}\right)=a+b{\frac {y}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561041d33504853f4e4cc25fde5a11ebae47e941)
Si l’on avait l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f607e0b45e19bf4e406be4f3ab6e9ee4747504f)
la caractéristique
dénotant une fonction quelconque donnée des deux fonctions dérivées
on trouverait aisément pour son équation primitive complète l’équation
![{\displaystyle z=ax+by+f(a,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daf48e889b72d3ab9d9a52ea7be040ab3c5c001)
et
étant deux constantes arbitraires.
En effet, en prenant les deux dérivées de cette équation par rapport à
et à
on a
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{x'}}\right)=a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf639432e7f5b479bd85554837c8b3c58bb575f)
et, substituant ces valeurs de
et
il vient l’équation proposée.
Maintenant, pour trouver l’équation primitive générale, il n’y aura qu’à faire
![{\displaystyle b=\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae618c51ee4273ac83955cbe41344b34edbda3c4)
et déterminer ensuite
par la dérivée, prise relativement à
seul.
Ainsi on aura le système des deux équations
![{\displaystyle z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],\quad x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8898c3b0decddc7775a4b3941a3996115ef35bdd)
Enfin, pour avoir l’équation primitive singulière, on éliminera
et
au moyen des deux dérivées, l’une par rapport à
et l’autre par rapport à
Ces dérivées sont
![{\displaystyle x+f'(a)=0,\quad y+f'(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ba94d27cfd09ca912ad3aeffaf7a1e0aeb41db)
Comme l’élimination de
et
est impossible tant qu’on ne particularise pas la fonction
si à la place des variables
et
on