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mais il faudra qu’il y ait entre les fonctions $\psi \left({\frac {x}{y}}\right)$ et $\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$ une relation dépendante de l’équation

$\varphi '(a)=-{\frac {x}{y}}.$

En effet, si, en regardant a comme une variable, on prend les fonctions dérivées relativement à la quantité ${\frac {x}{y}},$ les équations

$a=\psi \left({\frac {x}{y}}\right),\quad \varphi (a)=\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$

donneront

$a'=\psi '\left({\frac {x}{y}}\right),\quad a'\varphi '(a)=\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)\,;$

donc, substituant dans la seconde, pour $a'$ et pour $\varphi '(a),$ leurs valeurs, on aura l’équation de condition

${\frac {x}{y}}\psi '\left({\frac {x}{y}}\right)+\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)=0.$

Maintenant la première équation devient, par la substitution des valeurs de $a$ et de $\varphi (a),$

$z=x\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+y\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\,;$

et, si l’on met cette équation sous la forme

$z=x\left[\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+{\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\right],$

il est visible qu’elle se réduit à celle-ci

$z=x\Psi \left({\frac {y}{x}}\right).$

La fonction $\Psi \left({\frac {y}{x}}\right)$ demeure absolument arbitraire, puisque les deux fonctions $\psi \left({\frac {x}{y}}\right)$ et ${\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)$ ne forment qu’une fonction de ${\frac {y}{x}}\,;$ en sorte que la relation trouvée entre ces fonctions devient ici inutile.