dans laquelle on aura substitué pour
et
les valeurs tirées des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f806370da343e412964129118085017f75ca471)
Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.
Supposons que
soit une fonction quelconque de
que nous désignerons par
alors
deviendra
par conséquent
deviendra
et
deviendra
Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition, elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{x'}}\right)=&0,\\\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{y'}}\right)=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a5651aafa29be90f82db0d0192c7780c9cd635)
et l’on y satisfera par cette équation unique
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ad7175b395d7ef84526d1b157cb42f64e91169)
laquelle servira à déterminer la valeur de
et la fonction
demeurera arbitraire.
En effet, si dans l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ee240257b29d57d5136946d427711c5460f9ff)
on fait
![{\displaystyle b=\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae618c51ee4273ac83955cbe41344b34edbda3c4)
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7547b93cc74da381981afb1edc02eab35e2ef1b)
et, si l’on désigne par
la fonction dérivée de
prise relativement à
seul, il est facile de voir qu’en faisant
![{\displaystyle \operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eee4c9bf60820fd41dcff6955f728884a5dfbb0)
les équations dérivées de la proposée, prises relativement à
et à
seront les mêmes,
étant variable, que si elle ne variait pas ; que, par conséquent, l’équation du premier ordre, déduite de celle-ci par l’élimination de
et
sera encore la même.