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Mais il n’en est pas ici comme dans les équations à deux variables, où, dès qu’on a trouvé une équation primitive avec une constante arbitraire, on est assuré qu’elle a toute la généralité que l’équation du premier ordre peut comporter ; car on peut trouver une infinité d’équations à trois variables qui, par l’élimination de deux constantes au moyen de leurs dérivées, donnent la même équation du premier ordre.

Par exemple, l’équation

$z=ay+{\frac {bx^{2}}{y}}$

donne ces deux dérivées

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)={\frac {2bx}{y}},\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=a-{\frac {bx^{2}}{y^{2}}},$

d’où l’on tire, par l’élimination de $a$ et $b,$ la même équation

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

On pourra trouver autant d’autres équations primitives qu’on voudra qui redonneront la même équation du premier ordre ; mais, dès qu’on en a une avec deux constantes arbitraires, on peut en déduire la formule générale de toutes les autres par des principes analogues à ceux qui nous ont conduits aux équations primitives singulières, et que nous avons exposés dans la Leçon XV.

En effet, si l’on considère une équation primitive à trois variables, telle que

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

dans laquelle il y a deux constantes $a$ et $b,$ qu’on se propose de faire disparaître au moyen de ses deux dérivées, il est visible que le résultant de l’élimination de ces constantes sera toujours le même, soit que les constantes $a$ et $b$ soient constantes ou non, pourvu que les deux dérivées soient les mêmes, ce qui aura nécessairement lieu lorsqu’en regardant les quantités $a$ et $b$ comme variables, les termes provenant de leur variation, dans les deux équations dérivées, seront nuls.