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arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

$\mathrm {Q} =\varphi (\mathrm {P} ),$

$\varphi (\mathrm {P} )$ étant une fonction quelconque de $\mathrm {P} .$

2^o L’équation du premier ordre à quatre variables

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

dépend de ces trois équations entre les mêmes variables

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0.$

Et, si

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c$

sont les trois équations primitives de celles-ci, $a,b,c$ étant les constantes arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

$\mathrm {R=\varphi (P,Q)} ,$

$\varphi (\mathrm {P,Q} )$ désignant une fonction quelconque de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et ainsi de suite.

De cette manière, la recherche des équations primitives des équations du premier ordre, par lesquelles une variable est fonction de deux ou de plusieurs autres, est réduite à la recherche des équations primitives d’équations du même ordre, dans lesquelles toutes les variables sont fonctions d’une seule et même variable. Or, en Analyse, on regarde la solution d’un problème comme connue, lorsqu’elle est réduite à celle d’un problème d’un genre inférieur, quoique celle-ci puisse être sujette encore à beaucoup de difficultés.

Supposons, pour donner des exemples très simples, que les quantités $\mathrm {L,M,N}$ soient constantes ; les deux équations

$y'-x'\mathrm {M} =0,\quad z'-x'\mathrm {N} =0$

auront ces primitives

$y-\mathrm {M} x=a,\quad z-\mathrm {N} x=b\,;$

donc l’équation

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$