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Si l’on représente son équation par

$\operatorname {F} (t,x,y,z)=0,$

sa fonction dérivée $\operatorname {F} '(t,x,y,z)$ sera, en général,

$t'\operatorname {F} '(t)+x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z),$

et l’on aura, relativement à chacune des variables $t,x,y$ en particulier, les équations

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(t)+\left({\frac {z'}{t'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0.\end{aligned}}$

Tirant de ces équations les valeurs des fonctions $\left({\frac {z'}{t'}}\right),\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ et les substituant dans l’équation proposée, elle deviendra, après la multiplication par $\operatorname {F} '(z)$ et le changement des signes,

$\operatorname {F} '(t)+\mathrm {L} \operatorname {F} '(x)+\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {N} \operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(t)=-\mathrm {L} \operatorname {F} '(x)-\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)-\mathrm {N} \operatorname {F} '(z).$

Cette valeur de $\operatorname {F} '(t)$ étant substituée dans celle de $\operatorname {F} '(t,x,y,z),$ on aura

$\operatorname {F} '(t,x,y,z)=(x'-t'\mathrm {L} )\operatorname {F} '(x)+(y'-t'\mathrm {M} )\operatorname {F} '(y)+(z'-t'\mathrm {N} )\operatorname {F} '(z).$

Si donc on introduit entre les quatre variables $t,x,y,z$ les relations déterminées par les trois équations

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0,$

la fonction dérivée $\operatorname {F} '(t,x,y,z)$ deviendra nulle ; par conséquent la fonction primitive $\operatorname {F} (t,x,y,z)$ ne pourra contenir que des constantes.

Or les trois équations dont il s’agit, étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires $a,b,c,$ et par lesquelles trois des variables $t,x,y,z$ pourront être