Il suit de là que, l’équation primitive
ayant lieu, ses deux dérivées
auront lieu aussi en même temps ; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.
Ainsi une équation entre et les deux dérivées ou par rapport à et sera une équation du premier ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en
Soit, par exemple, l’équation
et étant des quantités constantes.
Son équation primitive sera
la caractéristique dénotant une fonction quelconque.
En effet, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à on a
et, si l’on prend ces fonctions par rapport à on a
de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée on a l’équation dérivée proposée
Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle et soient des fonctions quelconques données de