Et, lorsque
la valeur de
se trouvera exprimée par la série très simple
![{\displaystyle 2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e2d589dbc48a321ebe51084d68f58aa36743d2)
dont la valeur est
![{\displaystyle 2{,}718281828459\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fab7e1dc89d68a8d83b0eaf0462ad3187569212)
C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par
et qui est par conséquent la base des exponentielles dont le module est l’unité.
Ainsi, en faisant
on aura simplement
et conséquemment
![{\displaystyle e^{i}=1+i+{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2381c69be1adb752538153bb6559d8e4bbc613)
Si, dans l’équation trouvée ci-dessus
![{\displaystyle a^{i}=1+ci+{\frac {c^{2}i^{2}}{2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3344a0d872db32d28e18591412d12d8c1226cd)
on fait
on aura
![{\displaystyle a^{\frac {1}{c}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+\ldots =e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7174823dc4f31585e6275fbbe94f345db50a53c)
Ainsi l’on a entre les trois constantes
et
la relation
![{\displaystyle a^{\frac {1}{c}}=e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0698736dd39cfd6652112b5bc698058687719e7)
d’où l’on tire
![{\displaystyle a=e^{c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfde0ec1672632b9b723407dc6e23ea9b58401e2)
Cette équation donne aussi
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}=e^{-c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1424f04d91b2494cb4f3671c2c4d79e4e1d59c44)
d’où l’on voit qu’en prenant
négatif,
se change en
ainsi, en faisant ces changements dans l’équation
![{\displaystyle c=a-1-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b24f569312727079f57b2cf5da6720ab98397d0)