Ainsi ces deux équations donnent des valeurs de
et
en
qui satisfont à l’équation proposée, quelles que soient les valeurs des trois constantes
et
comme on peut s’en assurer par la substitution.
Or il est facile de concevoir que ces mêmes valeurs satisferont encore à la proposée, en supposant que les quantités
et
soient variables, pourvu que les dérivées
restent les mêmes, ce qui aura lieu si, en prenant les dérivées des deux équations précédentes, les termes dus aux dérivées de
et
se détruisent.
Il n’y aura donc qu’à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à
et
et déterminer, par leur moyen, les variables
et
Regardons dans ces dérivées la variable comme la principale ; nous ferons
![{\displaystyle \omega '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93d0459055c8fa37ea8b23e8c52d038ca118389)
et l’on aura
![{\displaystyle -y\sin \omega -x\cos \omega +a'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52a2d65c9defda08afae87232bee2b7cc4d4617)
![{\displaystyle y\cos \omega -x\sin \omega =b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1cffdb53f4daf70273b044f876e8fc75252dd3)
Mais nous avons déjà
![{\displaystyle y\sin \omega +x\cos \omega =b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d4ab56a6e9f51cbd3f35cadab0822b348743de)
donc on aura
![{\displaystyle -b+a'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e59e202c195e6a7c883172867d9f7f49841cf2b)
ce qui donne
![{\displaystyle b=a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f0e21b1ec6816d6b4308c8af95b8d28c121e3d)
et, par conséquent,
![{\displaystyle b'=a''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a7792cdb71cf25ea1f8474eac417578ec0e068)
Ainsi on aura ces trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&y\cos \omega -x\sin \omega +a,\\&y\sin \omega +x\cos \omega =a',\\&y\cos \omega -x\sin \omega =a''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35be1a11158fff70caa3f44d1fbce8fca78d485)
Mais,
étant une fonction quelconque de
si on la dénote par
on aura
![{\displaystyle a'=f'(\omega ),\quad a''=f''(\omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e10cbc9454e2c9fe452dab6928acdb0d1b2e3f)