Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/316

place de $y'$ et $z',$ conformément aux principes établis dans la Leçon septième. Ainsi l’équation sera

$z'^{2}=x'^{2}+y'^{2}.$

Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous emploierons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d’abord des expressions de $x,y,z$ qui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables, de manière que les expressions des dérivées $x',y',z'$ restent les mêmes.

Prenons un angle arbitraire $\omega \,;$ puisque

$\sin ^{2}\omega +cos^{2}\omega =1,$

en multipliant le second membre de l’équation proposée par

$sin^{2}\omega +cos^{2}\omega ,$

le premier ne changera pas.

Or le produit de $x'^{2}+y'^{2}$ par $\sin ^{2}\omega +cos^{2}\omega$ peut se mettre sous la forme

$(y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}\,;$

de sorte que l’équation proposée deviendra

$z'^{2}=(y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}.$

Supposons

$y'\sin \omega +x'\cos \omega =0,$

ce qui est permis à cause de l’indéterminée $\omega \,;$ on aura, en extrayant la racine carrée des deux membres,

$z'=y'\cos \omega -x'\sin \omega .$

Regardons d’abord l’angle $\omega$ comme constant ; les deux équations que nous venons de trouver auront pour primitives ces deux-ci :

$z=y\cos \omega -x\sin \omega +a,$

$y\sin \omega +x\cos \omega =b,$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.