Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en mettant le terme de l’expression de sous la forme ce qui réduit l’équation à cette forme
et supposant ensuite
moyennant quoi elle devient
dont la primitive est
Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l’équation proposée, la fonction demeurant arbitraire.
On doit dire, à plus forte raison, la même chose des équations que l’on pourrait supposer entre et dans lesquelles les fonctions dérivées monteraient à des puissances quelconques.
Qu’on suppose, par exemple, l’équation
en faisant
on aurait
Et il faudrait, pour avoir en trouver la fonction primitive de ce qui est impossible tant que la fonction demeurera indéterminée, à moins d’employer les séries.
Mais, en introduisant une troisième variable, on peut avoir des expressions finies de en fonction de cette même variable.
Pour cela il faut rétablir la fonction prime qui est lorsque est la variable principale, et substituer, par conséquent, et à la