a une primitive, la valeur de
sera déterminée par cette primitive eu fonction de
et
), il faudra la regarder comme telle dans les fonctions
et
et, d’après notre notation, il est clair que la dérivée de
par rapport à
sera exprimée par
![{\displaystyle \psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c9cef29930fefb4a1cbe9f6eb1e94376e637c7)
et que la dérivée de
par rapport à
sera
![{\displaystyle \varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7289d092d000d286a12d1f8815f4323abe735eaf)
On aura donc l’équation de condition
![{\displaystyle \psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,'=\varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9c11a1795f2d8ea0b48a72100068ada4401851)
savoir, en substituant pour
et
leurs valeurs,
![{\displaystyle \psi '(y)+\psi '(z)\varphi (x,y,z)=\varphi '(x)+\varphi '(z)\psi (x,y,z);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9d3927c54898aebd085f172cd061bedf5633d5)
et cette équation devra avoir lieu d’elle-même, c’est-à-dire être identique pour que la variable
puisse être une fonction de
et
et que, par conséquent, la proposée ait une primitive en
et
Dans ce cas, on trouvera facilement cette primitive au moyen de l’une ou de l’autre des deux équations
![{\displaystyle z'^{,}=\psi (x,y,z),\quad z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f980ae6977f35f19eb0f53ac750a46cc9a3ec726)
Car, prenant, par exemple, l’équation
![{\displaystyle z'^{,}=\psi (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edf4d6770ed3618842039642133ba70b4dafaae)
dans laquelle
est la dérivée de
en y regardant
comme constant, on pourra la traiter comme une équation du premier ordre entre
et
l’autre variable
étant supposée constante ; et, ayant trouvé sa primitive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de
qu’on déterminera ensuite par le moyen de l’autre équation
![{\displaystyle z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447fd3aa444ba3e65c8fa9c9195dda35120d371c)
Mais, lorsque l’équation de condition que nous venons de trouver