l’expression de
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \psi (x,y)=z'^{,},\quad \varphi (x,y)=z^{,}\,'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e13cd87944402a5777c2322f0d4c3ef710dec2)
Pour éliminer
de ces deux équations, il n’y a qu’à prendre leurs dérivées par rapport à
pour la première, et par rapport à
pour la seconde ; on aura ainsi
![{\displaystyle \psi '(y)=z'^{,}\,',\quad \varphi '(x)=z'^{,}\,',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17256bd798530cf529f4d21481048d235a5ab50f)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \psi '(y)=\varphi '(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8ef2ebe046c7ca7c50737adbec13ab567160af)
C’est l’équation de condition connue pour que la formule
![{\displaystyle \psi (x,y)+y'\varphi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db73add97dd1ae855233ec9d13c08968c12cfc24)
puisse être une dérivée exacte d’une fonction de
et
indépendamment d’aucune relation entre
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Ainsi, sans cette condition, il serait illusoire de supposer l’équation
![{\displaystyle z'=x'\psi (x,y)+y'\varphi (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32916dd11ba968a2e03313a1cec1efbad92ec898)
à moins d’admettre en même temps une relation quelconque entre
et
ou entre ![{\displaystyle x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb673ad6f63dc00449c2f0b9999f051e9de36ce8)
En général, si l’on avait l’équation
![{\displaystyle z'=x'\psi (x,y,z)+y'\varphi (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c3a0271f96696423471f4727d72c7d68f9e135)
on trouverait, par les mêmes principes, la condition nécessaire pour qu’elle pût avoir une équation primitive indépendamment d’aucune relation particulière entre ![{\displaystyle x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb673ad6f63dc00449c2f0b9999f051e9de36ce8)
Car, en comparant cette expression de
avec l’expression générale de
donnée ci-dessus, on a pareillement
![{\displaystyle \psi (x,y,z)=z'^{,},\quad \varphi (x,y,z)=z^{,}\,'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2a1801bf071ac6b204e5e1d53f96d4daabf15d)
Pour que ces deux équations s’accordent, il faudra que la dérivée de
par rapport à
soit égale à la dérivée de
par rapport à
puisque l’une et l’autre deviennent
Or,
étant censée fonction de
(puisque, si l’équation proposée