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l’expression de $z',$ il faudra que l’on ait

$\psi (x,y)=z'^{,},\quad \varphi (x,y)=z^{,}\,'.$

Pour éliminer $z$ de ces deux équations, il n’y a qu’à prendre leurs dérivées par rapport à $y$ pour la première, et par rapport à $x$ pour la seconde ; on aura ainsi

$\psi '(y)=z'^{,}\,',\quad \varphi '(x)=z'^{,}\,',$

d’où l’on tire

$\psi '(y)=\varphi '(x).$

C’est l’équation de condition connue pour que la formule

$\psi (x,y)+y'\varphi (x,y)$

puisse être une dérivée exacte d’une fonction de $x$ et $y,$ indépendamment d’aucune relation entre $x$ et $y.$

Ainsi, sans cette condition, il serait illusoire de supposer l’équation

$z'=x'\psi (x,y)+y'\varphi (x,y),$

à moins d’admettre en même temps une relation quelconque entre $x$ et $y,$ ou entre $x,y,z.$

En général, si l’on avait l’équation

$z'=x'\psi (x,y,z)+y'\varphi (x,y,z),$

on trouverait, par les mêmes principes, la condition nécessaire pour qu’elle pût avoir une équation primitive indépendamment d’aucune relation particulière entre $x,y,z.$

Car, en comparant cette expression de $z'$ avec l’expression générale de $z'$ donnée ci-dessus, on a pareillement

$\psi (x,y,z)=z'^{,},\quad \varphi (x,y,z)=z^{,}\,'.$

Pour que ces deux équations s’accordent, il faudra que la dérivée de $\psi (x,y,z)$ par rapport à $y$ soit égale à la dérivée de $\varphi (x,y,z)$ par rapport à $x,$ puisque l’une et l’autre deviennent $z'^{,}\,'.$

Or, $z$ étant censée fonction de $x,y$ (puisque, si l’équation proposée