Soit, pour agréger,
on aura donc pour les deux premiers termes du développement de par conséquent, en multipliant par on aura pour les deux premiers termes du développement de Donc coefficient de sera la fonction dérivée de
Le coefficient dépend, comme l’on voit, de la quantité qui est comme la base de l’exponentielle, et l’on nomme communément ce coefficient le module.
On peut ainsi établir cette règle, que la foncton dérivée d’une quantité exponentielle est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l’exponentielle, et qu’on nomme le module.
Puisque la dérivée de est la dérivée de celle-ci sera et la dérivée de cette dernière sera de même et ainsi de suite.
Ainsi, en faisant on aura
Donc, substituant ces valeurs dans le développementde on aura
et, divisant par
C’est la série dont nous n’avions trouvé ci-dessus que les deux premiers termes. Elle peut servir, comme l’on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.
On peut par cette série déterminer directement la valeur de en
En faisant on aura