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La première donnera, relativement à $y,$ la dérivée

$f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}},$

et la seconde donnera également, relativement à $x,$

$f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}}\,;$

ensuite on aura, relativement à $x$ et à $y$ seuls,

$f''^{,}(x,y)={\frac {6x}{y^{2}}},\quad f^{,}\,''(x,y)={\frac {6x^{3}}{y^{4}}}.$

La dérivée, relativement à $y,$ de $f''^{,}(x,y)$ sera

$f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},$

et la dérivée, relativement à $x,$ de $f'^{,}\,'(x,y)$ sera aussi

$f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},$

et ainsi des autres.

À l’imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d’une variable, si l’on suppose que la variable $z$ soit une fonction de deux variables $x$ et $y,$ soit explicite, soit donnée simplement par une équation quelconque entre $x,y$ et $z,$ on pourra désigner par

$z'^{,},\quad z^{,}\,',\quad z''^{,},\quad z'^{,}\,',\quad z^{,}\,'',\quad \ldots$

ses différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre $z$ les traits avec la virgule qu’on applique à la caractéristique $f.$

Ainsi, $x$ devenant $x+i$ et $y$ devenant en même temps $y+o,$ la valeur de $z$ deviendra

$z+iz'^{,}+oz^{,}\,'+{\frac {i^{2}}{2}}z''^{,}+ioz'^{,}\,'+{\frac {o^{2}}{2}}z^{,}\,''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''^{,}+{\frac {i^{2}o}{2}}z''^{,}\,'+\ldots ,$