dérivées relatives à la variable
par des traits appliqués à la même caractéristique, mais précédés d’une virgule ; enfin les fonctions dérivées relatives en partie à la variable
et en partie à la variable
par des traits séparés par une virgule, de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable
et ceux qui la suivent se rapportent à la variable
Cette notation conserve mieux l’analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive
dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes
et
que celle que j’avais employée dans la théorie des fonctions, en appliquant au bas de la caractéristique
les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variable
D’ailleurs nous trouvons plus convenable d’employer, comme nous l’avons déjà fait dans la Leçon XVII, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d’une fonction donnée.
De cette manière on aura donc, en premier lieu,
![{\displaystyle f(x+i,y)=f(x,y)+if'^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582ccf7aab082fb06065150d7dc33faee76a3701)
Substituant maintenant partout
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y+o)+if'^{,}(x,y+o)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y+o)+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3054232b53d8104c21a6ead9738022636ecf02)
Développons successivement les fonctions
![{\displaystyle f(x,y+o),\quad f'^{,}(x,y+o),\quad f''^{,}(x,y+o),\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d733bc35ef99d8afb6f68db4b0036ac5a99e8fda)
comme des fonctions de
on aura pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y+o)=&f(x,y)+of^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)+\ldots ,\\f'^{,}(x,y+o)=&f'^{,}(x,y)+of'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+\ldots ,\\f''^{,}(x,y+o)=&f''^{,}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3eef3e4b15b6243c03f2a21c84cc424e9fb1a1c)
et ainsi de suite.