Effaçant de part et d’autre les termes communs et divisant les autres par on a
où il faut maintenant supposer nul, ce qui réduit l’équation à
d’où l’on tire
ce qui montre que la ligne donnée doit être partagée par le milieu, comme on le sait d’ailleurs.
Il est facile de voir, au premier coup d’œil, que la règle déduite du Calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielles de l’express ion qu’on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier ’inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le même, et que les termes qu’on néglige comme infiniment petits dans le Calcul différentiel sont ceux qu’on doit supprimer comme nuls dans la méthode de Fermat.
Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l’équation entre l’abscisse et l’ordonnée, que Fermat appelle la propriété spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l’abscisse d’une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu’il traite comme celle de la méthode de maximis et minimis.
Ainsi, étant l’abscisse et l’ordonnée, si est la sous-tangente au point de la courbe qui répond à et il est facile de voir que les triangles semblables donnent pour l’ordonnée à la tangente, relativement à l’abscisse et cette ordonnée doit être égalée à celle de la courbe pour la même abscisse On aura donc l’équation dont il s’agit en mettant dans l’équation de la courbe à la place de et à la place de Cette équation, après les réductions, sera donc divisible par on divisera donc tous les termes par
