nière au développement des sinus par l’arc et est sujette aux mêmes difficultés.
En effet, on a, comme on l’a vu dans la Leçon X,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin mx=&m\cos ^{m-1}x\sin x-{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\cos ^{m-3}x\sin ^{3}x\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}}\cos ^{m-5}x\sin ^{5}x-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd89fd268a044f2d529892309bfc19d1ee974e7)
Supposons
infiniment petit et
infini, en sorte que
ait une valeur finie
donc
et les coefficients
![{\displaystyle m,\quad {\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}},\quad {\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{2.3.4.5}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb295d950bc6c032d051b1d58425d651c0a4434)
deviendront, en rejetant vis-à-vis de
tous les multiples de
quelque grands qu’ils puissent être,
![{\displaystyle {\frac {z}{x}},\quad {\frac {z^{3}}{2.3x^{3}}},\quad {\frac {z^{5}}{2.3.4.5x^{5}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5abf2ab88bcd5b997845d6055eb33c237edb065)
D’un autre côté
se réduit à
et
à
donc, faisant ces substitutions, on a
![{\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{2.3}}+{\frac {z^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3b07952bfbbc48fcb8c059a1a18ce47bb001d)
formule exacte et rigoureuse, comme nous l’avons trouvé par les méthodes directes.
Ce n’est pas seulement dans le passage des différences finies aux différentielles que les-fonctions changent de forme ; cela a lieu aussi dans plusieurs autres circonstances, et nous allons faire voir, par différents exemples, que l’analyse indique toujours et opère ce changement par des expressions qui deviennent alors zéro divisé par zéro.
Considérons d’abord la différentielle
Suivant les principes rigoureux du Calcul des différences, on a
![{\displaystyle df(x)=f(x+dx)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d15815ad0f171d1e51fcda334936741c7a21b3a)
et par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9460cc2009669eb08fcd267bc41de981d83c3e51)