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$i^{3},\ldots$ devant être négligés vis-à-vis de ceux qui ne contiennent que $i,$ l’équation précédente se réduit à

$ia'\operatorname {F} '(a)=0,$

laquelle donne

$a'=0$

et, par conséquent, $a$ constante, ou

$\operatorname {F} '(a)=0,$

d’où l’on tire $a$ en fonction de $x\,;$ c’est le cas des équations primitives singulières.

Dans ce cas donc, l’expression de $a$ ne peut plus contenir de $\alpha ,$ constante arbitraire ni dépendre de la quantité $i\,;$ par conséquent, il faut que les termes qui renfermeraient $i$ dans l’expression générale de $a,$ tirée de l’équation en $a$ et ${\overset {'}{a}}$ disparaissent absolument dans le cas de $i$ infiniment petit, quand même ces termes ne deviendraient pas alors infiniment petits, comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent.

La plupart des formules qu’on a trouvées par la considération des différences finies, et qu’on a ensuite traduites en Calcul différentiel, présentent des difficultés analogues dans le passage du fini à l’infiniment petit, et qu’on ne peut lever que par le même principe de rejeter indistinctement des formules finies tous les termes qui contiendraient des différences infiniment petites, de quelque manière que ces différences s’y trouvent contenues.

Ainsi, par exemple, on a, en employant les différences successives,

${\overset {'}{y}}=y+\Delta y,\quad {\overset {''}{y}}=y+2\Delta y+\Delta ^{2}y,\quad {\overset {'''}{y}}=y+3\Delta y+3\Delta ^{2}y+\Delta ^{3}y,\quad \ldots$

et, en général,

${\overset {m}{y}}=y+m\Delta y+{\frac {m(m-1)}{2}}\Delta ^{2}y+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\Delta ^{3}y+\ldots ;$

c’est l’expression du terme $m$^ième qui répond au terme $x+mi$ de la série $x,\ x+i,\ x+2i,\ \ldots .$

Si donc on fait

$mi=\omega ,$