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sera la même, soit que la quantité $a$ soit une constante ou une quantité dépendante de $x,$ pourvu que, dans ce cas, elle soit telle que l’on ait

${\overset {'}{\operatorname {F} }}\left(x+i,{\overset {'}{y}},a\right)=\operatorname {F} \left(x+i,{\overset {'}{y}},{\overset {'}{a}}\right).$

Cette équation, étant délivrée des fractions et des radicaux, sera toujours divisible par ${\overset {'}{a}}-a,$ puisqu’en effet ${\overset {'}{a}}=a$ satisfait ; et il est clair que cette racine donne $a$ égal à une constante, comme on l’avait supposé d’abord.

Si l’équation ne contient les quantités $a$ et ${\overset {'}{a}}$ qu’à la première dimension, le résultat de la division ne contiendra plus ces quantités ; ainsi.

${\overset {'}{a}}-a=0$

sera la seule racine, et il n’y aura alors qu’une seule expression du terme général.

Mais, si ces mêmes quantités forment plusieurs dimensions dans l’équation dont il s’agit, elles s’y trouveront encore après la division par ${\overset {'}{a}}-a,$ et l’on aura une nouvelle équation entre $a$ et ${\overset {'}{a}},$ qui sera, par conséquent, aux différences premières par rapport à la variable $a,$ et qui pourra donner encore une ou plusieurs valeurs de $a$ avec de nouvelles constantes arbitraires. C’est le cas de l’équation que nous avons considérée ci-dessus.

En regardant $a$ comme une fonction de $x,{\overset {'}{a}}$ qui répond à $x+i$ deviendra, par le développement,

${\overset {'}{a}}=a+ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+\ldots ,$

et la fonction $\operatorname {F} \left(x,y,{\overset {'}{a}}\right)$ deviendra aussi

$\operatorname {F} (x,y,a)+ia'\operatorname {F} '(a)+\ldots ;$

par conséquent, l’équation en $a$ et ${\overset {'}{a}}$ deviendra

$ia'\operatorname {F} '(a)+\ldots =0.$

Lorsque $i$ devient infiniment petit, les termes qui contiennent $i^{2},$