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aurait

${\overset {''}{y}}=f\left(x,y,{\overset {'}{y}}\right).$

Donc, faisant successivement

$x=0,\ \ i,\ \ 2i,\ \ 3i,\ \ \ldots ,$

on aurait

${\overset {2}{y}}=f\left(0,{\overset {0}{y}},{\overset {1}{y}}\right),\quad {\overset {3}{y}}=f\left(i,{\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}}\right),\quad {\overset {4}{y}}=f\left(2i,{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}}\right),\quad \ldots ;$

de sorte qu’en substituant toujours les valeurs précédentes on aurait les termes ${\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}},{\overset {4}{y}},\ldots$ donnés en ${\overset {0}{y}}$ et ${\overset {1}{y}}\,;$ par conséquent le terme général $y$ répondant à $x$ serait exprimé en $x,{\overset {0}{y}}$ et ${\overset {1}{y}}$ dans lequel ${\overset {0}{y}}$ et ${\overset {1}{y}}$ ont des valeurs arbitraires et constantes.

Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.

On voit par là que le nombre de constantes arbitraires qui doivent entrer dans l’expression complète du terme général est nécessairement égal à l’exposant de la plus haute différence qui entre dans l’équation proposée ; d’où l’on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences, et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l’ordre de ces différences, devra être regardée comme complète, de quelque manière qu’on y soit parvenu.

Mais la même équation pourra encore être susceptible d’une autre expression générale, qui répondra à l’équation primitive singulière, et qu’on pourra trouver par les mêmes principes.

Car, si

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation qui donne l’expression générale de $y$ en $x$ avec la constante arbitraire $a,$ on aura l’équation entre les termes successifs $y$ et ${\overset {'}{y}},$ ou $y$ et $y+\Delta y,$ en éliminant $a$ des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} (x+i,{\overset {'}{y}},a)=0,$

et le résultat de cette élimination, qui sera l’équation aux différences,