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d’où l’on tire

$y=-{\frac {x^{2}}{2}},$

comme dans le cas de

$b=0.$

En effet, l’expression de $a$

$a=b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}}$

donne, relativement à $x+i,$

${\overset {'}{a}}=-b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x+i}{2}}-{\frac {i}{4}},$

où l’on voit que, dans le cas de $i$ infiniment petit, la différence entre $a$ et ${\overset {'}{a}}$ demeure finie tant que la constante $b$ n’est pas nulle.

En général, soit

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

l’équation par laquelle le terme général $y$ est déterminé en fonction de $x,a$ étant une constante quelconque.

Cette équation est censée avoir lieu également pour les termes successifs ${\overset {'}{y}},{\overset {''}{y}},\ldots ,$ qui répondent aux valeurs successives $x+i,\ x+2i,\ldots$ de $x\,;$ ainsi on aura

$\operatorname {F} \left(x+i,{\overset {'}{y}},a\right)=0,$

et l’on pourra, par la combinaison de ces deux équations, éliminer la constante $a.$

On aura, de cette manière, une équation sans $a,$ mais qui sera en $x,y$ et ${\overset {'}{y}}\,;$ et, si à la place de ${\overset {'}{y}}$ on substitue $y+\Delta y,$ l’équation sera en $x,y$ et $\Delta y\,;$ ce sera alors proprement une équation aux différences premières.

De même, si l’équation du terme général renferme deux constantes $a$ et $b,$ comme

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

on pourra faire évanouir ces deux constantes par le moyen des deux équations successives

$\operatorname {F} (x+i,{\overset {'}{y}},a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x+2i,{\overset {''}{y}},a,b)=0.$