mais en regardant
comme une variable dépendante de
on aura
![{\displaystyle \Delta {\overset {'}{y}}={\overset {'}{a}}i\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}y=\left({\overset {'}{a}}-a\right)i;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945a1fb81233f689db5054551962712dfed8fd07)
donc l’autre équation deviendra
![{\displaystyle x+i+a+{\overset {'}{a}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5d656f66c45bbed68781d31b0cfabdad8e4ade)
qui est la même que nous avons trouvée plus haut, et d’où nous avons tiré
![{\displaystyle a=b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9610fa4fc9b317d12a3985ec42e6fc2549a2e7)
On aura donc
![{\displaystyle \Delta y=i\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a301de9a7b4aa6ab0350819fdb35e2437f18dce)
et, comme l’équation aux différences peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle y=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\Delta y}{i}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650418c504774deee3a92d900389c2ea9b7cec75)
la substitution de cette valeur de
donnera
![{\displaystyle y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d453834d0b8df618a21101cb9c1be175251fc4bb)
comme plus haut.
Cette manière de trouver la seconde expression de
revient à la méthode que nous avons exposée dans la Leçon XVI, pour les équations primitives singulières.
En supposant
infiniment petit, les valeurs de
et
qui répondent à
et
ne doivent différer l’une de l’autre que d’une quantité infiniment petite ; par conséquent, par le principe des infiniment petits, l’équation
![{\displaystyle {\overset {'}{a}}+a+x+i=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75284b3775d8eae0608ce22cd2a8c9951a63c300)
se réduit à
![{\displaystyle 2a+x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6067c77e97e3ea43b1e73ef6718ef24568e1b7b3)
ce qui donne
![{\displaystyle a=-{\frac {x}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9947093ad0bd359053e3c4e74e24177a6537c4)