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tement la fonction primitive d’une quantité constante, peut être appliquée à d’autres cas. En effet, si dans la formule générale

$f(x+i)=f(x)+if'(x){\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots$

on fait

$i=-x,$

la fonction $f(x+i)$ deviendra indépendante de $x,$ et sera par conséquent égale à une constante $b,$ laquelle sera proprement la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0.$ On aura donc ainsi

$b=f(x)-xf'(x)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(x)-\ldots ,$

d’où l’on tire

$f(x)=b+xf'(x)-{\frac {x^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .$

Si maintenant $f'(x)=a,$ on aura

$f''(x)=0,\quad f'''(x)=0,\quad \ldots \,;$

donc

$f(x)=b+ax.$

Si $f'(x)=ax,$ on aura

$f''(x)=a,\quad f'''(x)=0,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=0,\quad \ldots \,;$

donc

$f(x)=b+ax^{2}-{\frac {ax^{2}}{2}}=b+{\frac {ax^{2}}{2}}.$

Si $f'(x)=ax^{2},$ on aura

$f''(x)=2ax,\quad f'''(x)=2a,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=0,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x)=0,\quad \ldots \,;$

donc

$f(x)=b+ax^{3}-ax^{3}+{\frac {ax^{3}}{3}}=b+{\frac {ax^{3}}{3}},$

et ainsi de suite.

En général, si $f'(x)=ax^{n},$ on aura, en prenant les fonctions dérivées,

$f''(x)=nax^{n-1},\quad f'''(x)=n(n-1)ax^{n-2},\quad \ldots \,;$