Pour faciliter cette substitution, je mets l’expression donnée de
sous cette forme
![{\displaystyle y=\left(a+{\frac {x}{2}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788055a771ff41458bb7462dd2de6d7aace30c82)
et j’y substitue, pour
la valeur qu’on vient de trouver ; il vient cette nouvelle expression de ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250097fb969747e6c5ae65c6e8bcb47a9693a374)
Comme
est ici une constante arbitraire, on peut aussi la faire disparaître par l’équation successive, dans laquelle
devient
et
devient
ou
on aura ainsi
![{\displaystyle y+\Delta y=\left[-b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {(x+i)^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40dc9035bbefbdfb05786ace300b135d53de54bd)
à cause de
![{\displaystyle (-1)^{\frac {x+i}{i}}=(-1)^{{\frac {x}{i}}+1}=-(-1)^{\frac {x}{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b30c7137d15cf95308fdb436634a42f4f1a60f)
Retranchant de cette équation la précédente et observant que la différence des deux carrés est le produit de la somme par la différences des racines, on aura tout de suite
![{\displaystyle \Delta y=ib(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {ix}{2}}-{\frac {i^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082618f5d1e5f07da5fffea64c90b910bbd0acef)
d’où l’on tire
![{\displaystyle b(-1)^{\frac {x}{i}}={\frac {\Delta y}{i}}+{\frac {x}{2}}+{\frac {i}{4}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76d2d95b64d4ea359e0650c9d2d3baad22ddac3)
et cette valeur, substituée dans la première équation, donne l’équation aux différences
![{\displaystyle y=\left({\frac {\Delta y}{i}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56f2e418d1e81733846e74ed4bc261a7e9922b2)
savoir
![{\displaystyle y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2748f3312a449b1a5440aec790adfec722cb1269)
qui est la même valeur qu’on avait trouvée dans le cas où
était la constante arbitraire.