Cette équation se réduit à
![{\displaystyle \left[{\overset {'}{a}}+a+(x+i)\right]\left({\overset {'}{a}}-a\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1d720f95612094679a5df6e73d2afdca6baee3)
et se décompose, par conséquent, en ces deux-ci,
![{\displaystyle {\overset {'}{a}}-a=0,\quad {\overset {'}{a}}+a+x+i=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a920c584a38225bb03223814bad548f44b5b92c)
La première donne
![{\displaystyle {\overset {'}{a}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb64e28b24b828bd3b58ecccf6b8e3233e8188b0)
et, par conséquent,
égal à une constante quelconque ; c’est le cas que nous avons supposé d’abord.
La seconde donne une relation entre
et
d’après laquelle il faut trouver le terme général.
Pour simplifier cette équation, je suppose d’abord
![{\displaystyle a=u+mx+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce86f44e0cdb10f8037a88b87dd22b45ea76ab2)
et
étant des constantes et
une nouvelle variable ; j’ai
![{\displaystyle {\overset {'}{a}}={\overset {'}{u}}+m(x+i)+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feb5e38b30b376b7634c30d7f91aa924ef3e951)
et l’équation devient, par ces substitutions,
![{\displaystyle {\overset {'}{u}}+u+(2m+1)x+2n+(m+1)i=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fe1f3ed43413c625c38790aba48e8478343334)
où je peux faire disparaître les termes indépendants de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Je fais donc
![{\displaystyle 2m+1=0\quad {\text{et}}\quad 2n+(m+1)i=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a9b9d3e9a05d709a0dc4e6ecc2529d77d7dec6)
ce qui donne
![{\displaystyle m=-{\frac {1}{2}},\quad n=-{\frac {i}{4}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a28c17fbfc84c78d52f2e485e910649c9aaea91)
de sorte qu’en faisant
![{\displaystyle a=u-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9551c46d8363693f7ecb8bffe753fc1641ec08)
l’équation se réduit à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\overset {'}{u}}+u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5b7a9273dcc8b3efbc24aed8461281cac305b2)