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Cette équation se réduit à

$\left[{\overset {'}{a}}+a+(x+i)\right]\left({\overset {'}{a}}-a\right)=0$

et se décompose, par conséquent, en ces deux-ci,

${\overset {'}{a}}-a=0,\quad {\overset {'}{a}}+a+x+i=0.$

La première donne

${\overset {'}{a}}=a,$

et, par conséquent, $a$ égal à une constante quelconque ; c’est le cas que nous avons supposé d’abord.

La seconde donne une relation entre $a$ et ${\overset {'}{a}},$ d’après laquelle il faut trouver le terme général.

Pour simplifier cette équation, je suppose d’abord

$a=u+mx+n,$

$m$ et $n$ étant des constantes et $u$ une nouvelle variable ; j’ai

${\overset {'}{a}}={\overset {'}{u}}+m(x+i)+n,$

et l’équation devient, par ces substitutions,

${\overset {'}{u}}+u+(2m+1)x+2n+(m+1)i=0,$

où je peux faire disparaître les termes indépendants de $u.$

Je fais donc

$2m+1=0\quad {\text{et}}\quad 2n+(m+1)i=0,$

ce qui donne

$m=-{\frac {1}{2}},\quad n=-{\frac {i}{4}};$

de sorte qu’en faisant

$a=u-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}},$

l’équation se réduit à cette forme plus simple

${\overset {'}{u}}+u=0.$