L’analyse précédente suppose que la quantité est indépendante de puisqu’elle demeure la même dans les deux équations successives mais, si elle dépendait de de manière que les deux équations eussent néanmoins la même forme que dans le cas ou elle est constante, il est clair que l’équation aux différences, qui résulte de ces deux équations par l’élimination de serait encore la même ; par conséquent on aurait plus d’une équation en et pour la même équation aux différences c’est le principe qui donne les équations primitives singulières, comme on l’a vu dans la Leçon quatorzième.
Supposons donc, en général, que la quantité qui répond à devienne lorsque devient les deux équations successives, dont l’une répond à et l’autre à seront
Or, si l’on suppose que les quantités et soient telles que l’on ait
la seconde équation deviendra
comme dans le cas ou est supposée constante ; par conséquent, on aura également, par l’élimination de l’équation aux différences
Il s’agit donc de trouver le terme général de la série dont les termes consécutifs et répondant à et ont entre eux la relation déterminée par l’équation ci-dessus, qui se réduit à cette forme
et qui est, comme on voit, du genre des équations aux différences.