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On aura donc aussi, en changeant $y$ en l’équation

${\overset {'}{y}}=a(x+i);$

et, comme les deux équations doivent avoir lieu en même temps, on pourra, si l’on veut, en éliminer la constante $a.$

Retranchant, pour cela, la première de la seconde, on aura

${\overset {'}{y}}=ai\quad {\text{ou}}\quad \Delta y=ai,$

d’où l’on tire

$a={\frac {\Delta y}{i}};$

donc, substituant cette valeur dans la première, elle deviendra

$y={\frac {x\Delta y}{i}}.$

La première équation

$y=ax$

donne le terme général de la suite ; l’autre équation

$y={\frac {x\Delta y}{i}}$

donne la loi entre les termes successifs ; car, puisque

$\Delta y={\overset {'}{y}}-y,$

on aura

${\overset {'}{y}}=y+{\frac {iy}{x}}\quad {\text{ou}}\quad {\overset {'}{y}}={\frac {x+i}{x}}y.$

Réciproquement, on voit que, cette loi des termes étant donnée, le terme général sera nécessairement

$y=ax,$

$a$ étant une constante arbitraire, et il est facile de se convaincre que cette expression de $y$ en $x$ est la plus générale qui puisse répondre à l’équation aux différences

$\Delta y={\frac {iy}{x}}.$