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fournissent celle-ci :

$(y-xy'+py')(y-xy'+qy')=k\left(1+y'^{2}\right),$

qui est, comme l’on voit, l’équation du premier ordre à laquelle le problème conduit directement. Ainsi cette équation appartient à la classe que nous avons examinée dans la Leçon précédente, dont la forme générale est

$\Phi (a,b)=0,$

et qui est toujours susceptible d’une équation primitive singulière, qu’on peut obtenir par l’élimination de $y',$ au moyen de la dérivée relative à $y',$ ce qui redonne le résultat que nous avons trouvé.

Si l’on voulait tirer l’équation primitive singulière de l’équation primitive complète, d’après la théorie de la Leçon quinzième, il n’y aurait qu’à substituer d’abord, dans l’équation de condition en $a$ et $b,$ la valeur de $b$ tirée de l’équation

$y=ax+b,$

ce qui donnera celle-ci :

$(y-ax+ap)(y-ax+aq)=k\left(1+a^{2}\right),$

qui est à deux lignes droites, et qu’on peut regarder comme l’équation primitive du problème, dans laquelle $a$ est la constante arbitraire. Ainsi il n’y aura qu’à éliminer $a$ au moyen de cette équation et de sa dérivée, et l’on aura encore le même résultat, puisque l’équation en $y'$ a la même forme que l’équation en $a,$ ce qui sert de plus en plus à rapprocher les différentes méthodes que nous avons données.

Nous avons démontré, à l’occasion du problème de Leibnitz, que toute équation primitive singulière représente la courbe formée par l’intersection continuelle des lignes représentées par l’équation primitive complète ; ainsi on peut dire que l’ellipse qui résout le problème d’Euler est formée par l’intersection continuelle de toutes les droites représentées par l’équation

$(y-ax+p)(y-ax+q)=k\left(1+a^{2}\right),$

en supposant que la constante $a$ varie de l’une à l’autre.