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ou, plus simplement encore, à

$y^{2}+{\frac {k}{k+\left({\cfrac {p-q}{2}}\right)^{2}}}\left(x-{\frac {p+q}{2}}\right)^{2}=k,$

équation à une ellipse dont le carré du demi-petit axe est $k\,;$ et le carré du demi-grand axe est $k+\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2},$ de sorte que ${\frac {p-q}{2}}$ sera la distance du centre au foyer, et, comme le centre de l’ellipse répond à l’abscisse ${\frac {p+q}{2}},$ il s’ensuit que les deux foyers répondent aux abscisses $p$ et $q,$ et sont, par conséquent, dans les deux points donnés.

En effet, on sait, par la théorie des sections coniques, que le produit des perpendiculaires menées de chacun des foyers sur une tangente quelconque est constant et égal au carré du petit axe.

L’équation que nous venons de trouver ne renferme point de constante arbitraire, puisqu’elle provient de deux équations différentielles du premier ordre par l’élimination de ${\frac {dy}{dx}}\,;$ mais on aura une autre équation, avec une constante arbitraire, par le moyen de l’autre facteur $d^{2}y,$ lequel donne l’équation du second ordre

$d^{2}y=0,$

d’où l’on tire

$dy=adx,$

$a$ étant une constante arbitraire ; cette équation étant combinée de nouveau avec la proposée, on aura celle-ci :

$(y-ax+p)(y-ax+q)=k\left(1+a^{2}\right),$

d’où l’on tire

$y-ax+{\frac {(p+q)a}{2}}=\pm {\sqrt {\left(1+a^{2}\right)k+a^{2}\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}}},$

équation à deux lignes droites.

Il est visible, en effet, que la ligne droite satisfait aussi au même problème, pourvu qu’elle soit placée de manière que le produit des