Nommant les coordonnées du cercle, l’abscisse qui répond au centre, et le rayon, on aura
savoir,
pour l’équation du cercle.
Maintenant l’équation proposée entre et donnera en fonction de il ne restera ainsi que le paramètre qu’on déterminera comme on vient de le dire, et l’équation en et deviendra alors celle de la courbe formée par l’intersection de tous les cercles, et aura, par conséquent, la propriété demandée.
Supposant, avec Leibnitz, que l’équation entre et soit celle de la parabole
étant une constante, l’équation en et sera
Faisant varier seul, suivant la notation du Calcul différentiel, on a
d’où l’on tire
substituant cette valeur dans l’équation précédente, on a
pour la courbe cherchée, qu’on voit être aussi une parabole.
On peut s’assurer a posteriori que cette courbe résout le problème.
En effet, on sait que, étant l’ordonnée qu’on regarde comme fonction de l’abscisse la fonction prime exprime le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente, lequel est le même que celui de la sous-normale à l’ordonnée ; de sorte que est l’expression de la sous-normale ;