En général, il résulte de l’analyse précédente que, si sont des fonctions d’un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes tirées d’une équation en et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.
Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c’est-à-dire, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.
Car, si l’on désigne par les fonctions dont il s’agit, et que soient les valeurs des rapports des dérivées à la dérivée ces valeurs étant, par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données on aura donc les équations
Supposons
on aura donc aussi
donc
étant des constantes.
Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la même équation
puisqu’elles ont lieu en même temps qu’elle ; par conséquent ; en éliminant de ces mêmes équations
les plus hautes fonctions dérivées de la variable on aura une équa-