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Pour trouver d’une manière générale la forme de la fonction diaprés cette condition, je supposerai que la quantité $m$ soit changée en $m+i,$ et que la quantité $n$ le soit en $n-i,$ $i$ étant quelconque ; alors la fonction $\operatorname {F} (m+n)$ demeurera la même, et les fonctions $\operatorname {F} (m),\operatorname {F} (n)$ deviendront

$\operatorname {F} (m+i),\quad \operatorname {F} (n-i)\,;$

donc l’équation précédente donnera

$\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n)=\operatorname {F} (m+i)+\operatorname {F} (n-i).$

Or, par le développement, la fonction

$\operatorname {F} (m+i)$

devient

$\operatorname {F} (m)+i\operatorname {F} '(m)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(m)+\ldots ,$

comme on l’a vu plus haut ; et la fonction $\operatorname {F} (n-i)$ deviendra de même, en prenant $i$ négativement,

$\operatorname {F} (n)-i\operatorname {F} '(n)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(n)-\ldots ,$

donc l’équation précédente se réduira à celle-ci

$i\left[\operatorname {F} '(m)-\operatorname {F} '(n)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[\operatorname {F} ''(m)+\operatorname {F} ''(n)\right]+\ldots =0,$

laquelle devant avoir lieu quelle que soit la valeur de $i,$ on aura nécessairement

$\operatorname {F} '(m)-\operatorname {F} '(n)=0,\quad \operatorname {F} ''(m)+\operatorname {F} ''(n)=0,\quad \ldots .$

La première de ces conditions donne

$\operatorname {F} '(m)=\operatorname {F} '(n),$

d’où l’on conclut d’abord que la valeur de la fonction $\operatorname {F} (m)$ doit être indépendante de la variable $m,$ puisqu’elle demeure la même en changeant la valeur de cette variable, et qu’ainsi cette valeur doit être constante relativement à la même variable.