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et qui sont les mêmes que si l’on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde $y'',$ parce qu’en désignant ces fonctions par

$\varphi (x,y,y',y''),\quad \psi (x,y,y',y''),\quad \xi (x,y,y',y''),$

les trois équations

$\varphi (x,y,y',y'')=a,\quad \psi (x,y,y',y'')=b,\quad \xi (x,y,y',y'')=c,$

où $a,b,c$ seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d’une même équation du troisième ordre, telle que

$y'''+f(x,y,y',y'')=0,$

à laquelle les dérivées de ces équations devront par conséquent satisfaire et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe que voici :

En dénotant simplement par $\varphi$ et $\psi$ les fonctions $\varphi (x,y,y'),\ \psi (x,y,y'),$ qui expriment les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

il est clair que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi )=0$

sera identique ; que, par conséquent, sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )=0$

aura lieu d’elle-même ; mais on a déjà

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

donc on aura séparément l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )=0,$

laquelle donne

${\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {\operatorname {F} '(\psi )}{\operatorname {F} '(\varphi )}}.$