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sont telles que leurs dérivées $\varphi '(x,y,y')$ et $\psi '(x,y,y'),$ que nous avons désignées par $a'$ et $b',$ ont la forme suivante :

${\begin{aligned}\varphi '(x,y,y')=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\\psi '(x,y,y')=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right]\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’on a simplement

${\frac {\varphi '(x,y,y')}{\psi '(x,y,y')}}={\frac {\varphi '(y')}{\psi '(y')}},$

où l’on voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde $y''$ disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si l’on prenait ces dérivées relativement à la variable $y'$ seule.

Soit, par exemple, l’équation à la ligne droite

$y+ax+b=0\,;$

sa dérivée sera

$y'+a=0\,;$

ainsi on aura

$a=-y',\quad b=xy'-y.$

On aura donc, en dénotant simplement par $\varphi$ et $\psi$ ces expressions de $a$ et $b,$

$\varphi =-y',\quad \psi =xy'-y\,;$

prenant les fonctions dérivées, il viendra

$\varphi '=-y'',\quad \psi '=xy''\,;$

donc

${\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {1}{x}}.$

Si l’on ne prenait $\varphi '$ et $\psi '$ que relativement à $y',$ on aurait

$\varphi '=-1,\quad \psi '=x\quad {\text{et}}\quad {\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {1}{x}},$

comme précédemment.