en éliminant
de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à
seule.
En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l’on a une équation du second ordre, représentée par
![{\displaystyle \Psi (x,y,y',y'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935a18b01e081e6b1e0953f4e9cd98e503b86275)
dont le premier membre puisse être une fonction quelconque
de trois fonctions
déterminées par une équation quelconque
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b3d27ad28c3a0ed031005bfa3ec41ee276dec)
entre
et par ses deux équations dérivées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9332d7b7b9900b5265b8f3e963ffbc2cd83d73)
prises en regardant
comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de
au moyen de son équation dérivée
![{\displaystyle \psi '(y'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e90fec3e6abc63c44ca40d3ca6100928dd490cd)
relative à ![{\displaystyle y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ed36301a6153888755cbf70bf6c1108b556c3c)
Et l’on aura l’équation primitive en
et
par l’équation même
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4f8706cbad48034c938c22423341e0c6523243)
en prenant les constantes
de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée
![{\displaystyle \Phi (a,b,c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2308fd1c349017c7e62b2313a490f16f172ee4b9)
de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.
Et de même pour les équations des ordres supérieurs.
Prenons l’équation
![{\displaystyle x^{2}-2ay-a^{2}-b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a8068d6e6662514ca585ef8c6b5c1085e5c01c)
sa dérivée sera
![{\displaystyle x-ay'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb93c2d24afa222a07ca33f1f89d8ab582d7a5a)
de ces deux équations on tire
![{\displaystyle a={\frac {x}{y'}},\quad b=x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd3b131c7bea420abbe4c10c787069f0c6cf744)