Mais il faudra que les constantes
et
de cette équation satisfassent à la condition
![{\displaystyle \Phi (a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb76e61f925bb901681dcc2aa972cea6ecf865a)
donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira a une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.
Le facteur du premier ordre
![{\displaystyle \varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7675ffa4b08dec06db0ff246e116efe1556f4261)
donnera, de son côté, l’équation en
et ![{\displaystyle y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aad40b1beb229f0301be9a583679828dd1429e)
![{\displaystyle \varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f338259108cdba804c1df62a5a138d34f96e25)
en supposant qu’on y mette pour
et
leurs valeurs
et
et cette équation, d’après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant
par le moyen de ces deux équations.
Or il est facile de voir que, si l’on représente par
![{\displaystyle \Psi (x,y,y')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de462813e4b81f1138f46016142f040c231da854)
la fonction donnée
dans laquelle
![{\displaystyle a=\varphi (x,y,y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a9bdbee4f459b85cd2907c15ca2b743ab74b40)
et
![{\displaystyle b=\psi (x,y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dfbdd4d890539fee2139abc1ec06b1c67dcebb)
le facteur dont il s’agit se réduira simplement à
puisque les expressions
et
ne sont que les fonctions dérivées de
et
prises par rapport à
seule.
Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation
![{\displaystyle \Psi (x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c6c5c3b8a72a6267ab1275752b466c8e735886)
dans le cas où elle est réductible à la forme
![{\displaystyle \Phi (a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f639df19038c3872f1a61011361e278de795f83)