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tions dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0\,;$

et cette équation pourra toujours, comme nous l’avons vu, se mettre sous la forme

$y''+f(x,y,y')=0.$

Maintenant, si l’on commence par tirer les valeurs de $a$ et $b$ des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,$

et que ces valeurs soient représentées par les fonctions

$\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y')\,;$

et il est clair que les deux équations

$a=\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad b=\psi (x,y,y'),$

où $a$ et $b$ sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente

$y''+f(x,y,y')=0\,;$

par conséquent, leurs dérivées

$\varphi '(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \psi '(x,y,y')=0$

devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de $y''$ en $x,y$ et $y'.$

Or

$\varphi '(x,y,y')=\varphi '(x,y)+y''\varphi '(y'),$

et

$\psi '(x,y,y')=\psi '(x,y)+y''\psi '(y'),$

suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura

$y''=-{\frac {\varphi '(x,y)}{\varphi '(y')}}=-{\frac {\psi '(x,y)}{\psi '(y')}}=-f(x,y,y'),$

expressions de $y'',$ qui seront nécessairement identiques.

On aura donc

${\begin{aligned}\varphi '(x,y)=&\varphi '(y')f(x,y,y'),\\\psi '(x,y)=&\psi '(y')f(x,y,y')\,;\end{aligned}}$