tions dérivées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076102bed4b416138bacce9d8b80ff004cb010a3)
et cette équation pourra toujours, comme nous l’avons vu, se mettre sous la forme
![{\displaystyle y''+f(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea97a3eb3c0d8857b907659366b4321fd1eca72)
Maintenant, si l’on commence par tirer les valeurs de
et
des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82924eda45f61fa6722bf66d44695413b4c07f3)
et que ces valeurs soient représentées par les fonctions
![{\displaystyle \varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e994ef9373db4bfa8be286ed42585b7e45d32f9b)
et il est clair que les deux équations
![{\displaystyle a=\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad b=\psi (x,y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a83f2681402979f55661756e1caff2104f1a822)
où
et
sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente
![{\displaystyle y''+f(x,y,y')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4681403617e893f112de17c41278d5d4ed450d)
par conséquent, leurs dérivées
![{\displaystyle \varphi '(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \psi '(x,y,y')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d2023e4c7da08e768978362f0769ec93a18c9e)
devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de
en
et ![{\displaystyle y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421ef86a37f3e826be46d6200a70f66b222fb198)
Or
![{\displaystyle \varphi '(x,y,y')=\varphi '(x,y)+y''\varphi '(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474fd90385f5b21520ac5797084499f953ad8482)
et
![{\displaystyle \psi '(x,y,y')=\psi '(x,y)+y''\psi '(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7dcd2ae2e13e9c14b003bc41eec94969f239b5)
suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura
![{\displaystyle y''=-{\frac {\varphi '(x,y)}{\varphi '(y')}}=-{\frac {\psi '(x,y)}{\psi '(y')}}=-f(x,y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f80a667a2d206b786577c191face4b9ed72ecd)
expressions de
qui seront nécessairement identiques.
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '(x,y)=&\varphi '(y')f(x,y,y'),\\\psi '(x,y)=&\psi '(y')f(x,y,y')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d66b4e228e89067728e87f98373acb21cd010b6)