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cette proposition fondamentale, devoir en donner une démonstration aussi générale que rigoureuse.

Puisque

$(x+i)^{m}=x^{m}\left(1+{\frac {i}{x}}\right)^{m}$

par les règles de l’Algèbre, si l’on fait pour abréger ${\frac {i}{x}}=\omega ,$ il s’agira de trouver le coefficient de $\omega$ dans le développement de $(1+\omega )^{m},$ quel que soit l’exposant $m.$ Or, quel que puisse être ce coefficient, comme il doit être indépendant de $\omega ,$ il est clair qu’il ne peut être qu’une fonction de $m,$ puisque l’expression $(1+\omega )^{m}$ ne contient que les deux indéterminées $\omega$ et $m.$ On pourra donc le représenter en général par $\operatorname {F} (m),$ la caractéristique $\operatorname {F}$ désignant une fonction déterminée, mais inconnue. Ainsi, comme en faisant $\omega$ nul, la quantité $(1+\omega )^{m}$ devient $1^{m}=1,$ on aura

$(1+\omega )^{m}=1+\omega \operatorname {F} (m)+\ldots .$

On aura donc aussi, pour un autre exposant quelconque $n,$

$(1+\omega )^{n}=1+\omega \operatorname {F} (n)+\ldots .$

Multipliant ensemble ces deux équations, on aura

$(1+\omega )^{m+n}=1+\omega \left[\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n)\right]+\ldots .$

Car la théorie des puissances repose uniquement sur ce principe que $a^{m}a^{n}=a^{m+n},$ quelles que soient les quantités $a,m,n,$ et l’on peut même dire que c’est dans ce principe que consiste l’essence des puissances, lorsque les exposants ne peuvent être expriméspar des nombres.

Ainsi $\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n)$ sera le coefficient de $\omega$ dans le développement de la puissance $(1+\omega )^{m+n}.$ Mais ce coefficient doit être représenté par $\operatorname {F} (m+n),$ puisque la fonction $(1+\omega )^{m}$ devient $(1+\omega )^{m+n},$ en y substituant $m+n$ pour $m.$ Donc il faudra que la fonction désignée par la caractéristique $\operatorname {F}$ soit telle que l’on ait

$\operatorname {F} (m+n)=\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n),$

$m$ et $n$ étant des quantités quelconques.